じつはずっとそう思っていました。LINEは主にパソコンで使っていたから、なおさら気づきにくかったのかもしれません。
じつはとってもかんたんにテキストがコピーできるんです。
パソコンの場合
①「トーク」画面を表示し、コピーしたいテキストにマウスのポインターを重ねてください。そのまま右クリックすると②「コピー」のプルダウンメニューが表示されます。これを選択するとマウスオーバーしたテキストボックス（①）の全テキストをコピーすることができます。
任意の場所に「Ctrl」キー+「V」でペーストできます。
Wordやeメールなどでは通常、欲しいテキスト部分をドラッグ・選択してから「コピー」します。この要領でやろうとしていたので、発見が遅れてしまいました。
ちなみに「コピー」の下の「転送」を選択した場合、下の画像の画面が表示されます。
マウスオーバーしたテキストボックス（①）の全テキストを「友だち」「グループ」「トーク」に送信できます。テキスト内容を誰かと共有したいときに便利ですね。
スマホの場合
表示されているの任意のテキストボックスを長押し（ロングタップ）すると、冒頭画像の②のような選択肢が表示されます。こちらもコピーや転送などがかんたんに実行できます。
ちょっと不便だなと思っていた方のお役に立てれば幸いです。